Exercise
⊕
Problem
20
你好,这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题,其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分,实分析,复分析)
——————Alina Lagrange
设
{
K
ε
}
ε
>
0
是一类恒同逼近(核),证明存在常数
C
>
0
对于所有可积函数
f
∈
L
(
R
n
)
有
sup
ε
>
0
|
(
f
∗
K
ε
)
(
x
)
|
≤
C
f
∗
(
x
)
.
在这里
f
∗
表示极大函数.
P
r
o
o
f
.
|
(
f
∗
K
ε
)
(
x
)
|
=
|
∫
R
n
f
(
x
−
y
)
K
ε
(
y
)
d
y
|
≤
∫
R
n
|
f
(
x
−
y
)
|
|
K
ε
(
y
)
|
d
y
≤
∫
|
y
|
≤
ε
|
f
(
x
−
y
)
|
|
K
ε
(
y
)
|
d
y
+
∑
k
=
0
∞
∫
2
k
ε
<
|
y
|
≤
2
k
+
1
ε
|
f
(
x
−
y
)
|
|
K
ε
(
y
)
|
d
y
≤
A
ε
n
∫
|
y
|
≤
ε
|
f
(
x
−
y
)
|
d
y
+
∑
k
=
0
∞
∫
|
y
|
≤
2
k
+
1
ε
A
ε
(
2
k
ε
)
n
+
1
|
f
(
x
−
y
)
|
d
y
=
A
ε
n
∫
|
y
|
≤
ε
|
f
(
x
−
y
)
|
d
y
+
A
ε
n
∑
k
=
0
∞
1
2
k
(
n
+
1
)
∫
|
y
|
≤
2
k
+
1
ε
|
f
(
x
−
y
)
|
d
y
=
A
ε
n
I
1
+
A
ε
n
I
2
考虑
I
1
∫
|
y
|
≤
ε
|
f
(
x
−
y
)
|
d
y
=
∫
B
|
f
|
≤
m
(
B
)
f
∗
=
π
n
2
Γ
(
n
2
+
1
)
⋅
ε
n
f
∗
.
其中
B
是
R
n
中半径
ε
的球. 考虑
I
2
A
ε
n
∑
k
=
0
∞
1
2
k
(
n
+
1
)
∫
|
y
|
≤
2
k
+
1
ε
|
f
(
x
−
y
)
|
d
y
≤
A
ε
n
∑
k
=
0
∞
1
2
k
(
n
+
1
)
⋅
π
n
2
Γ
(
n
2
+
1
)
⋅
(
2
k
+
1
ε
)
n
f
∗
所以
sup
ε
>
0
|
(
f
∗
K
ε
)
(
x
)
|
≤
sup
ε
>
0
A
ε
n
(
I
1
+
I
2
)
)
≤
(
A
π
n
2
Γ
(
n
2
+
1
)
+
A
π
n
2
Γ
(
n
2
+
1
)
∑
k
=
0
∞
1
2
k
−
n
)
f
∗
=
A
π
n
2
Γ
(
n
2
+
1
)
(
2
n
+
1
+
1
)
f
∗
=
C
f
∗
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