Exercise  Problem 20   

 

你好,这里是我的个人网站数学分析的每周一题栏目(数学分析每周一题,其中数学分析指的是数学中的分析学, 主要包括微积分,实分析,复分析)  ——————Alina Lagrange

 

{Kε}ε>0 是一类恒同逼近(核),证明存在常数 C>0 对于所有可积函数 fL(Rn)supε>0|(fKε)(x)|Cf(x). 在这里 f 表示极大函数.

 

Proof.

|(fKε)(x)|=|Rnf(xy)Kε(y)dy|Rn|f(xy)||Kε(y)|dy|y|ε|f(xy)||Kε(y)|dy+k=02kε<|y|2k+1ε|f(xy)||Kε(y)|dyAεn|y|ε|f(xy)|dy+k=0|y|2k+1εAε(2kε)n+1|f(xy)|dy=Aεn|y|ε|f(xy)|dy+Aεnk=012k(n+1)|y|2k+1ε|f(xy)|dy=AεnI1+AεnI2 考虑 I1 |y|ε|f(xy)|dy=B|f|m(B)f=πn2Γ(n2+1)εnf. 其中 BRn 中半径 ε 的球. 考虑 I2 Aεnk=012k(n+1)|y|2k+1ε|f(xy)|dyAεnk=012k(n+1)πn2Γ(n2+1)(2k+1ε)nf 所以 supε>0|(fKε)(x)|supε>0Aεn(I1+I2))(Aπn2Γ(n2+1)+Aπn2Γ(n2+1)k=012kn)f=Aπn2Γ(n2+1)(2n+1+1)f=Cf